¿Cuál de estas figuras tiene menor superficie? Demostralo con un teorema.

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La actividad que sigue tiene como propuesta medir superficies. Queda en el docente usar todo lo que aparezca en el desarrollo de ese trabajo para hacer matemática y obtener conclusiones valiosas.

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El concepto matemático de medir es bastante complejo. Si bien en 1° no se desarrollan estos conceptos, el docente tiene que tener claro para qué está preparando a sus alumnos. Por eso empezaremos con una repasadita.

Gran variedad

En el mundo físico hay una gran variedad de cosas a medir. Y cada objeto tiene, a su vez, varios aspectos a medir.

El largo, el ancho y el alto son longitudes.

Esta chica está midiendo el peso de la mesa con una balanza.

La mesa tiene una superficie mayor que la del mantel.

Magnitudes

El peso, la longitud, la superficie, son magnitudes y también lo son el tiempo, la capacidad, el volumen.

Diez centímetros, el largo de un auto, el ancho de la bañera, la altura de un chico, son cantidades de la magnitud longitud. De la misma forma que el lugar que ocupa una montaña, un metro cúbico y el espacio que ocupa nuestro cuerpo, son cantidades de volumen.

Cómo se mide una cantidad

Para medir una cantidad de una magnitud hay que elegir una unidad de medida. Esa unidad de medida tiene que cumplir el requisito de pertenecer a la misma magnitud que lo que se quiere medir.

Para medir la longitud de una soga, la unidad de medida debe ser una cantidad de longitud. En el ejemplo de la figura se tomó como unidad de longitud el largo del bastón.

La soga mide 4, con el bastón como unidad. Al medir se hace una operación matemática: la división.

Para medir una cantidad de capacidad, la unidad de medida es otra capacidad y para medir se calcula una división.

De la misma forma, para medir una superficie la unidad de medida es otra superficie y se calcula una división.

Para medir un peso la unidad de medida es otro peso. Calcular la medida es dividir.

La cuestión de medir, como involucra la división tiene toda la complejidad  del concepto de división, de la cuenta de dividir, de las fracciones y los decimales.

Expertos en medidas

¿Quién no ha ideo a la fiambrería, le ha pedido al fiambrero medio kilo de queso y lo ha visto cortar, sin titubear, un trozo que exactamente pesaba 500 gramos al ponerlo en la balanza?

Este conocimiento que han logrado algunas personas sobre las medidas, fruto de la práctica, del ensayo y el error, es la que tiene que inspirar la enseñanza de la medida en la escuela. Una vez conseguida, ya se podrá teorizar con cosas abstractas como los algoritmos y cosas por el estilo. Es por eso que la tarea escolar referida a la medida deberá basarse en mucha práctica de comparación de cantidades y, para eso, acá van algunas ideas.

Paso a paso

A esta altura vale una aclaración importante. Todo el trabajo con las unidades convencionales de medida, el Simela, los números decimales, etcétera, es muy posterior a esa práctica a la que hago referencia más arriba. Para probar eso basta recordar los desvelos que persiguen a maestros y alumnos de segundo ciclo cuando se pretende ventilar en clase problemas de medidas y se recurre a la famosa tablita para reducir y a otos algoritmos para calcular. Así como los chicos de 1° no pueden comprender el sistema de numeración si no tienen mucha experiencia de contar, de la misma forma, saber calcular con medidas requiere el paso previo de tener experiencia concreta de magnitudes y cantidades.

Medir en la cocina

En la cocina siempre hay material para el cálculo y la matemática. El asunto de las medidas es, a no dudarlo, un tema de cocina. Vasitos medidores, balanzas y otros instrumentos de medición se encuentran a disposición en la cocina; los libros de cocina están hechos a base de medidas, pero lo que quiero destacar acá son las actividades en las que los chicos manipulan cantidades, las comparan y sacan conclusiones a aproximadas de sus medidas.

¨           Vasos, jarras, tazas, cacerolas, todos estos recipientes son apropiados para medir la capacidad. Trasvasando agua de un recipiente a otro, los chicos irán construyendo la idea de capacidad de los recipientes y que esas capacidades se pueden comparar, ordenar de mayor a menor, se pueden medir. No hay que olvidar otros recipientes en la cocina menos usados a la hora de trasvasar líquidos que, justamente por eso, ayudan a construir la idea de capacidad de los recipientes y sus medidas.

• ¿Cuántas cucharadas de café se necesitan para llenar una de sopa?
• ¿Cuántos platos playos llenos hasta el borde con agua son necesarios para llenar un plato hondo?
• ¿Cuál contiene más sopa, un plato hondo un tazón?
• La capacidad de los recipientes se puede comprobar con agua, leche o líquidos de uso doméstico y también se lentejas, polenta o fideos municiones.
• Repartir entre los chicos varios frascos de cocina transparentes. La docente muestra otro frasco igual pero con lentejas (ni muy lleno ni muy vacío) que será usado para comparar. Se pide a los chicos que pongan agua en sus recipientes, una cantidad menor que la del modelo con lentejas (o mayor, o igual).
• Una vez cumplida la consigna se pueden comparar los frascos, ordenarlos de menor a mayor, de mayor a menor o juntar los que tienen igual cantidad.
• Se puede pedir que llenen frascos hasta la mitad y luego comprueben que, efectivamente, se necesitan dos mitades para completar un frasco.
• Más difícil: conseguir en su frasco una cantidad mitad de la cantidad que tiene el frasco del docente.
• Si tuvieras una mochila mágica, ¿qué guardarías dentro de ella? Hacé un dibujo. Después fijate cuántas naranjas entran en tu mochila, cuántas mandarinas y cuántos melones.
• Con un frasco de antibiótico (vacío) y su tapa para medir llenar el frasco con agua y calcular cuántas dosis contiene el frasco.
• Hacer una fila con cucharitas para comparar el largo con el de la mesa. Tomar el largo de una mesa para compararlo con el del salón, el patio, la vereda o… vaya a saber qué.
• Hacer un acopio de fruta, llenar bolsas iguales transparentes, ver cuántas caben en cada una: bananas, manzanas, frutillas, pomelos, etcétera. Si el volumen de la fruta es más grande que el que puede contener la bolsa, por ejemplo, una sandía, los chicos podrán comprobar que “en la bolsa cabe menos que una sandía”, concepto que más adelante dará lugar a las medidas menores que la unidad.
• Con balanza de dos platillos se puede calcular cuántos panes entran en un kilo, cuántas naranjas, manzanas, etcétera.
• El rollo de cocina es un material excelente para medir longitudes y también superficies. ¿Qué es más largo, el rollo de cocina desenrollado, por supuesto, o la vereda de la escuela? ¿Cuántas servilletas del rollo de cocina se necesitan para cubrir el escritorio de la maestra?

Medir con el cuerpo

Medir con le cuerpo es de suma importancia para que los chicos construyan los conceptos matemáticos desde lo concreto. Basta pensar que la humanidad, en tiempos remotos, comenzó midiendo longitudes con partes del cuerpo: la mano (palma), el brazo, etcétera.

• Marcar en la pared registrando la altura de los chicos, comparar con las alturas en una foto, renovar las marcas a lo largo del año escolar, todo eso es trabajar con la medida de la altura del cuerpo.
• ¿Y por qué no un registro del ancho del cuerpo de los chicos?
• La fila, de mayor a menor o de menor a mayor, son ordenamientos por altura y por eso involucran el concepto de medida de longitud.
• Calcular cuántos chicos en fila se necesitan para cubrir el largo del patio, es medir una longitud pero también se puede medir ese largo con los chicos puestos tomados de la mano, acostados haciendo en el piso una fila, uno a continuación de otro. Cambiando la disposición de los chicos para medie el patio, se lleva la atención sobre el problema de cambiar la unidad de medida para medir una misma cantidad y la relación que existe entre la medida y la unidad.

• • • • • • Cuanto mayor es la unidad, la medida es menor al medir una misma cantidad. Con el cuerpo de los chicos se puede medir superficies. ¿Cuántos chicos acostados llenan una colchoneta?, ¿sentados?, ¿parados,?, ¿en cuclillas?
          • El cuerpo ocupa un volumen. ¿Cuántos chicos caben en el interior del armario?

Números a la fuerza

Con un acopio de latas de conserva (tomates, arvejas, etcétera), proponer un concurso a ver quién sostiene más.

¨           El sube y baja constituye una verdadera balanza casera que permite comparar los pesos que sostiene en sus puntas. Se puede hacer un concurso en el que cada chico y chica, subida al sube y baja, sostiene pesos colocados en la otra punta.

Medir en el patio

• Medir longitudes son un caminito de hormigas. ¿Cuántas hormigas cubren un camino de medio metro de largo?
• Cajones para apilar. ¿Cuántos cajones se necesitan apilar para alcanzar a espiar por la ventana?
• En el arenero la capacidad de los recipientes se puede medir trasvasando arena.
• Calcular a ojo medidas de tierra y agua para hacer barro.
• Medir longitudes con hilos y sogas.
• Medir tiempos con una fila de hormigas. ¿Cuántas hormigas pasan  junto a una plantita mientras una de las nenas da una vuelta al patio?
• En cualquier competencia en la que se mide el tiempo con un cronómetro es una actividad con medidas.
• Tarda más, tarda menos, tarda tanto como, son formas de medir el tiempo.

… y un cachito

Para terminar llevemos el hilo de la reflexión hacia la naturaleza de los números que se usan para medir. Si bien la Matemática tiene teorías precisas sobre la medida y los números reales dan un marco a esas conclusiones, en 1° habrá que tener en cuenta que los chicos miden con números naturales, 0, 1, 2, 3, etcétera, pero que hay que dejar la puerta abierta para futuros conocimientos involucrando el concepto de parte de un entero.

Para eso se propondrán cantidades a medir sin el prejuicio de que la medida deba ser un número entero. En el lenguaje de los chicos, habrá una manera de decir que, por ejemplo, en la mochila entran tres melone

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Cada año termina siempre asociado al número que convencionalmente se le asigna para nombrarlo. Por eso es frecuente escuchar cosas como “este año será así o asá por que 2010 es un número redondo”, “este año es par, qué bien o qué mal” y cosas por el estilo.  Todos sabemos que no tienen profundidad científica estas cosas, pero aún así aprovecho para hablar de este número.

Acá van algunas características matemáticas del número que da nombre a este año que empezamos.

• 2010 es el producto de estos números primos: 2, 3, 5 y 67.
• 2010 no es primo sino rectangular según Pitágoras (o compuesto). Este es un rectángulo de 30 x 67 que tiene 2010 cuadraditos.

Otros rectángulos que tienen 2010 cuadraditos son de:

2 x 1005                            670 x 3                        402 x 5                           335 x 6                           134 x 15                           201 x 10

• 2010 es par.
• 2010 escrito en otros sistemas de numeración es:

11  111  011  010   es 2010 en sistema binario.

• Por lo demás, 2010 no es cuadrado, ni cubo, ni tiene otras cuestiones aritméticas importantes. ¿Vos conocés alguna que quieras contarnos?

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Cuando se trabajan los contenidos matemáticos con objetos que se puedan manipular, la comunicación entre el docente y el alumno se hace más fluida y rara vez aparecen los malentendidos porque “se habla” de objetos concretos y no de abstracciones matemáticas.

Es por esto que se hace necesario llevar a clase los contenidos matemáticos en términos de la cultura de todos los días. Si bien actualmente está bastante difundido el uso de material concreto para 1º ciclo, el desafío es encontrar objetos concretos para hablar de las operaciones matemáticos a los chicos del 2º y 3º ciclo, sin que se produzcan malentendidos por causa de discursos abstractos.

Cuando digo discursos abstractos me refiero a cosas tan simples como “tres por cinco, quince”. Los lingüistas dicen que una palabra es una dupla compuesta por una huella sonora y la idea que evoca. Así, el sonido de la palabra “mesa” evoca una imagen mental (de color marrón, con cuatro patas, de madera, etc.) pero, ¿qué imagen mental tenemos de “tres por cinco, quince”, que no sea unos cuantos símbolos escritos (3 x 5 = 15)?

En el C.I.E. de Avellaneda, en la provincia de Buenos Aires, con un grupo entusiasta de docentes, hicimos la experiencia que se detalla más abajo, para saber hasta dónde influye el lenguaje abstracto en la comunicación en la clase de matemática. Los docentes de 4º año tenían dificultades con la multiplicación y las tablas así que resolvimos trabajar con una actividad que les permitiera comunicarse con sus alumnos a través de un lenguaje que evoca lo concreto y ver si así se podía llegar a los conceptos sin que las palabras frustraran la comunicación. A continuación detallo ese trabajo.

Trabajo para el docente (previo al trabajo en el aula)

Cortar rectángulos de papel cuadriculado que tengan respectivamente estas cantidades de cuadraditos:

4, 20, 17, 26, 32, 64, 48, 145, 100, 200, 300, 400, 220, 1000, 1032, 1369, 2500.

Anotar cuáles resultaron más fáciles y por qué. Anotar cuáles resultaron más difíciles y por qué.

Trabajo para los alumnos

En base al trabajo anterior y a las dificultades, llevar la misma actividad a clase y anotar las facilidades y dificultades de los chicos. Al final pedir que dibujen un rectángulo de 7 cuadraditos de ancho que contenga 91 cuadraditos. La idea es observar:

• si los chicos cuentan con los dedos;
• si los chicos si se manejan por tanteo o recurren a la división;
• si los chicos estiman y cómo;
• si los chicos recurren a las tablas de multiplicar y si las saben de memoria
• y todo lo que surja que sea interesante.

Las docentes dijeron:

• No tuve dificultad en realizar la consigna dad excepto el Nº 1369. (Claudia Noriega)
• A mí me resultaron fáciles todas las cantidades a excepción del número 1369. (Maricel Zarco)
• Con 4 cuadraditos, imaginé los 4 cuadrados y los dibujé. Para 20 usé la tabla, 4 x 5 es 20. Para 17, como es primo, no se me ocurrió otra forma que uno al lado del otro. Para los números más grandes que no están en las tablas, como 145, como es múltiplo de 5, hice una división: 145 % 5 = 29. Pero 1369 fue el más difícil; después de intentar varias cuentas de dividir opté por calcular la raíz cuadrada con la calculadora y obtuve 37. (Irene Zambalatti).
• Del trabajo con los chicos, esto informa Irene Zambalatti.
• Al pedirles un cuadrado de 4 cuadraditos fue muy fácil para todos, en general contaron de a 2 y armaron la figura.

Con 20 cuadraditos:

• Laura: (es una nena que le cuesta mucho, pero se esfuerza y prueba todas las formas posibles para llegar a una solución) propuso sumar 10 más 10, llega al resultado sumando y marcando las columnas en la hoja. Al preguntarle si podía hacerlo de otra forma, respondió que con columnas de dos en dos.
• Dalma: (no logra manejar con facilidad las cantidades) Cuenta de uno en uno hasta llegar a 20 y formar el rectángulo. De otra forma no puede.
• Yésica: (est  en la misma situación de Laura) Fue sumando de 5 en 5 formando columnas.
• Maxi: (es un niño r pido, que maneja los números con gran facilidad, realiza tanteos, aproximaciones y juega con todas las tablas) Dice 10 x 2, 5 x 4, explicando cómo lo hacía.

Con 17 cuadraditos:

• Paula: (tiene un manejo r pido de los números, pero no es tan ágil) Hace una barrita de uno por uno, dice que no está en ninguna tabla, así que la única forma que se puede es así.
• Maxi: Respondió que no tiene ningún múltiplo, que no se puede agrupar, que va de uno en uno.
• Los otros niños, en general, contaban de uno en uno y formaban la figura pero no podían lograrlo.

26 – 32 – 64 – 48:

• Paula: Divide a todos por 2. Realiza aproximaciones para poder hacerlos de diferentes formas.
• Ivana: (es una nena que le cuesta mucho, además no sabe las tablas, por ende no las puede manejar) En todos los casos cuenta de dos en dos, forma columnas. No intenta buscar otras soluciones, no sabe cómo aplicar las tablas en relación al problema.
• Ariel: (es un nene que no sabe muy bien las tablas pero trata de resolver las situaciones que se le presentan) Usó cuentas de sumas, se manejó por tanteos y multiplicaciones.
• En general todos usaron las tablas, algunos cuentas de dos en dos.

145 cuadraditos:

• Ariel: Hace columnas de 5 en 5, cuenta con los dedos.
• Maxi: Busca los múltiplos, combina diferentes cuentas.

100 – 200 -300 – 400:

• Matías: los paquetes de figuritas tienen 10 cada una, si tengo que agrupar 10 paquetes tengo 100. Lo mismo pasa con los otros números. (Matías es fan tico de las figuritas y se pasa todo momento que puede contando y agrupando)
• Maxi: Si 10 x 1 es 10, 10 x 10 es 100. Lo mismo que 15 x 2 es 30, 15 x 20 es 300.

220 cuadraditos

• Carlos: (sabe las tablas pero le cuesta un poco usarlas) Hace distintas divisiones, prueba y obtiene 110 x 2.
• Maxi: Hace varias multiplicaciones y obtiene distintas soluciones.
• 1000 – 2500 cuadraditos:
• Laura: Como eran muchos, empezó a agrupar de 50 en 50.
• Yésica: agrupa columnas de 10.
• Ariel: Saca la cuenta por aproximación, va arrimando a la cantidad.

1032 – 1369 cuadraditos:

• Resultó muy difícil para todos. Algunos empezaron a contar de uno en uno, lo que muestra la distancia enorme que hay entre sus saberes de la multiplicación y lo concreto.
• Maxi: Llegó a 1000 pero no había forma de que pudiera ubicar los 32 que le sobraban. Lo mismo le pasó con los 1369, armó 1300, pero no podía ubicar los 69.

91 cuadraditos:

• Maxi y Paula: Dividieron 91 por 7 y hallaron la solución.
• Los otros niños no pudieron llegar a una solución en forma r pida, sólo algunos después de hacer diferentes cuentas, llegaron a la división, pero dudaron si era el resultado correcto, entonces contaron uno por uno.

Esta experiencia puso en tapete muchos detalles que muestran cómo van construyendo los chicos el concepto de multiplicación. Pero lo más importante para los fines del análisis de este artículo es comprobar que la consigna expresada en palabras relacionadas con lo concreto permitió a todos los chicos abordar el problema y avanzar en su resolución, más allá del nivel que tienen alcanzado en relación con la multiplicación.

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Se trata de calcular cuántas veces  1234 cabe en 400 000, o lo que es lo mismo, cuántas veces se puede restar 1234 de 400 000.

Para eso vamos a mirar un poco las cantidades que aparecen al multiplicar a 1234. Para eso los cálculos que siguen que nos van a permitir estimar.

Con estos cálculos ya sabemos que la cantidad máxima de veces que 1234 se puede sacar de 400 000 está entre 100 y 1000 veces.

Afinamos entonces el cálculo.

A la vista de estos números, la cantidad máxima de veces que 1234 se puede sacar de 400 000 es más que 300 pero menos que 400 veces.

Entonces sacamos de 400 000:

Ahora calculamos cuántas veces 1234 se puede sacar de lo que queda, es decir de 29 800

Sabemos que es monos de 100 veces así que, en la tabla anterior, tachamos ceros y tenemos estas estos cálculos.

A la vista de estos números, la cantidad máxima de veces que 1234 se puede sacar de 29 800 es más que 20 pero menos que 30 veces.

Entonces sacamos de 29 800:

Ahora calculamos cuántas veces 1234 se puede sacar de lo que queda, es decir de 5120

Sabemos que es monos de 10 veces así que, en la tabla anterior, tachamos ceros y tenemos estas estos cálculos.

A la vista de estos números, la cantidad máxima de veces que 1234 se puede sacar de 5120 es más que 4 pero menos que 5 veces.

Entonces sacamos de 5120:

Como 1234 no se puede restar de 184, la cuenta termina calculando el total de veces que sacamos 1234 de 400 000

La cuenta termina acá pero si trabajamos con fracciones podríamos seguirla y calcular que parte de 1234 se puede restar de 184. Los cálculos anteriores nos sirven. Miremos un poco.

A la vista de estos números, 0,1 de 1234 se puede sacar de 184.

Invito a los lectores que sigan la cuenta y nos digan cuánto les dio.

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La parte gráfica y de dibujo de esta actividad es la más interesante: con imágenes se dicen cosas que no es posible decir con palabras.

Esta plancha de madera mide  16 m²

¿Cuántos trozos de 3,2 m² se  pueden cortar? Marcalos en la figura.

Explicá cómo lo hiciste. ¿Podés encontrar la solución con una suma? ¿Y con una resta, multiplicación o división?

¿Cuántos  contiene cada pedazo? Marcalos en la figura.

A los docentes que lleven esta actividad al aula les pido que me, si quieren, me hagan saber qué cosas descubrieron.

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