Animada por esta reflexión, propuse esta pregunta en este blog:

Esta pregunta es para docentes de matemática, ¿sabés enseñar a sumar fracciones?

Miren ustedes los resultados de esta encuesta a la que contestaron 321 personas.

• Sí (66%, 211 Votos)
• No (34%, 110 Votos)

Según estos datos, 1 de cada 3 docentes de matemática admiten no saber enseñar a sumar fracciones.

¿Podría usted, lector, comentar acá su oponión?

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Las fracciones son una manera de anotar los números racionales. Es por eso que enseñar fracciones es adentrarse en cuestiones matemáticas complejas que van más allá de pintar pedacitos de un dibujo.

Así como para aprender los números 0, 1, 2, 3, etcétera, los chicos tienen que empezar por contar y volverse expertos en eso, para aprender las fracciones, es fundamental que empiecen por cortar y contar pedacitos.

A medida que la clase de matemática consista en actividades para cortar y calcular con los pedacitos que se obtengan, irán surgiendo ricas cuestiones matemáticas. Citaré una de ellas por ahora.

• Para obtener fracciones no basta con cortar el entero. Para tener quintos de una manzana no alcanza con cortarla en 5 cachitos: además deben ser iguales.

Manos a la obra

Un clásico para trabajar estas cuestiones son los cuadraditos de papel glasé que se compran en la librería, por lo menos en Argentina. Para los que no los conocen les cuento, son cuadrados de 10 centímetros de lado y que vienen en variados colores aunque cada uno de ellos es de color liso y uniforme. Estos detalles son importantes porque dan la idea clara de entero.

Las actividades que enunciaré pueden finalizar con la exposición de los pedacitos en las paredes del aula. Los cachitos en cuestión irán acompañados de los números fraccionarios escritos. De esta manera las fracciones escritas con símbolos, me refiero a   4/5 ,   1/4 , etcétera, irán tomando el lugar de algo que tenga un sentido construido por el hacer de los chicos.  A medida que se sucedan las actividades los trabajos se agregarán a los anteriores. Así, se irán volviendo más complejos los murales del aula y mostrarán la evolución en el aprendizaje.

• Para los chicos pequeños la actividad puede consistir en cortar en mitades, en tercios, en cuartos, etcétera.
• Para chicos  y chicas de unos 9 años pueden cortar muchos quintos, por ejemplo, y después plantear sumas y restas entre quintos.
• Para chicos un poco mayores cortar y volver a cortar. por ejemplo, cortar los cuartos en mitades; cortar los tercios en 3 partes iguales, etcétera. Esto se conoce como “fracciones equivalentes” y es el procedimiento fundamental para sumar fracciones de distinto denominador.
• Más adelante se puede multiplicar fracciones por un número natural, por ejemplo, el doble de 3/7 ;  el triplo de 7/2 y así.
• En todo momento comparar: ¿son iguales?, ¿da lo mismo?, ¿cuál es mayor?, ¿cuál es menor?, ¿se puede inventar uno más pequeño? , ¿y uno más grande?, es más que un entero?, ¿es más que dos enteros?, etcétera.

Con los ojos y los oídos bien abiertos

Recomiendo especialmente a los docentes que cuando los estudiantes trabajen con estas cuestiones mantengan sus ojos y oídos bien abiertos para aprender las mil y una maneras que tienen los chicos de construir el concepto de fracción.

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El domingo tuvimos un hermoso encuentro en familia en casa de Sofía. Sus papás nos convidaron asado y música hechos por sus propias manos… ¡una fiesta!

A la hora de los juegos Sofía, que tiene 8 años y está en tercer grado, que sabe  por que sus papás le han contado, que tengo este blog dedicado a lo que le pasa a la gente con la matemática, me dedicó su atención trayéndome sus cuadernos y contándome que a veces se equivoca con las cuentas de dividir. Hermoso cuaderno el de Sofi como ustedes podrán ver acá.

Sofía y yo elegimos esta cuenta:

Para revisarla volvimos a leer el problema que originó la cuenta.

Hablamos sobre el hotel y el dinero.  El Tío Gabriel seguía atentamente nuestro juego.

Para que la cantidad de dinero que cita el texto tuviera sentido para Sofia, le pedí papel borrador y corté unos papelitos para “jugar” a que era plata.

Enseguida Sofi se puso a contar dinero jugando a que era dinero suyo y no hace falta contar lo divertida que estaba. Jugar con dinero es un clásico para los chicos de esa edad.

Pronto juntó 2490 pesos de juguete.

Entonces le pedí que separara el dinero para pagar por día, cada día por separado.

Pensó un poco y decidió que para repartir los 2000 pesos tenía que cambiar los 2 billetes de $1000 por billetes de $100. Y así lo hizo.

Una vez que tuvo las cantidades a la vista empezó a separar el dinero por día.

Repartió haciendo montones así:

y le sobró:

Para poder repartir los 30 pesos que le habían sobrado necesitaba cambio así que pedimos ayuda a los tíos y tías presentes y recolectamos un montón de monedas.

Claro que no había tantas monedas de un peso así que apelamos al juego del “dale”.

¿Dale que eran todas monedas de un peso?, dije.

Dale, dijo Sofía.

Sofi cambió sus 3 billetes de 10 por 30 monedas y repartió.

Contó una vez más y dijo “cada día es $415″

Para ese momento ya había olvidado su trabajo del cuaderno así que se lo mostré. Fue conmovedor ver su cara de sorpresa al darse cuenta que el resultado en el cuaderno coincidía con su cálculo con la plata de juguete.

Los adultos que lean este artículo podrán volver sobre ambos trabajos y reconocer en la cuenta del cuaderno todos los pasos que Sofi hizo con el juego con plata inventada.  Quiero llevar la reflexión al aprendizaje que hizo Sofía con sus 8 años.

• ¿Por qué insistir en presentar la cuenta de dividir como un mecanismo en base a las cifras separadas en lugar de manipular cantidades a la vista en base a la idea de repartir? (Me refiero a trabajar con el número 24 con un arquito encima en lugar de repartir en 6 la cantidad 2400)
• ¿Por qué insistir en que un chico, o una chica, de 8 años necesita memorizar las tablas de multiplicar para hacer un cálculo como el del problema?
• ¿Cuánto puede durar lo que aprendió Sofia memorizando el mecanismo de la cuenta comparado con lo que aprendió con el juego de los billetes?
• ¿Cuánta seguridad gana un chico, o una chica, de 8 años al calcular con cantidades a la vista?
• ¿Cuántos juegos como los que jugó Sofía son necesarios para que se vuelva competente en cálculos de división? ¿Cuántas cuentas memorizadas hacen los chicos, y las chicas, en toda su primaria sin lograr competencia en cálculos de división?
• ¿Para qué mandar a los chicos a la maestra particular si estos juegos se pueden hacer en la escuela?
• ¿Por qué hay docentes que se niegan a que los chicos resuelvan de esta manera?
• ¿Se dan cuenta los docentes que la gran dificultad es aprender los detalles del sistema de numeración decimal en la resolución de las cuentas de dividir?

Las preguntas podrían seguir y seguir pero no cansaré a mis lectores. Eso sí, les pido a docentes, padres y madres que lean esta experiencia que me cuenten, por favor, si se sienten identificados en algo.

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Este blog MatematicaClara.com empezó con la idea de publicar experiencias que he vivido en el afán de enseñar matemática. Con el tiempo se ha convertido en una fuente de inspiración al recibir  los comentarios que, por ser este un medio informal, también son fruto de la más estricta experiencia no teórica.

Lo que más me sorprende de este blog es que a pesar de contener materiales que considero muy valiosos, los artículos sobre la cuenta de dividir son, por mucho, los más visitados y más comentados. Por ejemplo, la mayoría de los artículos tienen 2, 3, 4 comentarios. H ay varios que no tienen niguno. Sin embargo, “Cómo enseñar a adividir por 2 cifras”, del 17 de junio de 2009, tiene 313.  Por lejos, la cuenta de dividir y las dificultades que entraña para docentes, estudiantes y padres, es el tema más consultado.

Lo básico en los artículos sobre la dichosa cuenta está centrado en mostrar que solo comprendiendo se está aprendiendo la matemática de las cuentas de dividir.

Agregaré acá tres cosas más que son fundamentales a la hora de aprender y enseñar el mecanismo de la cuenta sin apelar a la memoria sin sentido.

• Para que los estudiantes disfruten la matemática y en especial el cálculo, tiene que haber un adulto mediador que disfrute, a su vez, de  jugar con los números.

Como todo, un niño disfruta leer si tiene como modelo adultos que leen con pasión, que aman su biblioteca por pequeña que sea, que recomiendan lecturas interesantes. Con los números pasa lo mismo.

• Las cuentas son mecanismos que resuelven operaciones en función del sistema de numeración decimal. Solo si se comprende el sistema de numeración, las cuentas pasan a ser algo fácil de comprender.

Esto es parecido a lo que pasa con la lectura: si no se conoce bien las letras, mal se va a poder leer un texto. Ahora bien, las letras del alfabeto son simplemente una colección, mientras que el sistema de numeración decimal es una colección de dígitos pero vinculados por complejas operaciones aritméticas.

Las cuestiones matemáticas que involucra el sistema de numeración decimal no son en absoluto obvias para los niños ni aún para los adultos y, me animaría a decir, ni para los docentes.

Lo que puedo asegurar (por haberlo experimentado) es que cuando los niños comprenden el sistema de numeración decimal, no tardan nada en aprender las cuentas; no pierden la alegría ni si quiera con la cuenta de dividir con decimales.

• Por último, algo que es fundamental. Para que los niños hagan cálculos y cuentas con naturalidad tienen que conocer las cantidades. Esto puede parecer trivial porque los adultos tenemos tan naturalizados los números que nos cuesta mucho ponernos en el lugar de los niños.

Para que los niños conozcan los números y las cantidades que representan tienen que contar. Tan simple como eso: hay que habilitar espacio para contar en la clase de matemática.  Stanislas Dehaene* lo dice con claridad:

Comprender para qué sirve contar es el punto de partida de una explosión de invenciones numéricas. Saber contar es el “cuchillo de campaña” de la aritmética, el instrumento que los niños prestan a muchos usos. Una vez que saben contar, la mayoría de los niños encuentra la manera de sumar y restar números sin necesidad de una enseñanza sistemática.

Hay que permitir que los niños cuenten y cuenten: las baldosas del patio, los libros de la biblioteca de su casa, los cubiertos que hay en la cocina, etcétera.

*Stanislas Dehaene. The number sense. How the mind creates mathematics. Published by Penguin Group.1997. London. England

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Las fracciones representan números para anotar cuánto es una parte. Son los números racionales.

1 pizza            Media pizza        Un cuarto de pizza        

Tres cuartos de pizza          

2 pizzas      3 pizzas

Pizzas enteras y un cachito más

Las cantidades que siguen están anotadas con fracciones mixtas:

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Isabel,

unos días despues que me mandaste este mail, ocurrio algo (para mi) especial charlando con mis hijos. Lo puse en formato de relato, por ahi te animas y lo pones en MatemáticaClara, despues de las correcciones del caso.

Saludos, Federico

Matemática Clara: Pares entre hermanos.

Hace unas semanas atrás vi uno de esos momentos en los que se te ilumina la mente. Todo ocurrió mientras estaba llevando a mis dos hijos (uno de 8 años y el otro de 6 años) a un evento deportivo. El más chico le pregunta al más grande que eran los números pares. Aún hoy desconozco por qué necesitaba saber eso. La respuesta del pequeño profesor fue algo así: “Un número par es… viste cuando sumas un número con otro que es igual? Bueno el resultado
es par”. Y un segundo después aclaró: “viste el número 3? bueno si sumas un 2 con otro 2 te da 4. Cuatro es par”. Por último le pregunto a su alumno si había entendido y el joven alumno respondió: “sssi”.

Usando mi “conocimiento” de los números pares que arrastro desde mis siete años, aclaré: “…eso que vos decís está  muy bien, pero la definición de números pares es que son los números divisibles por dos”. Y aporte un ejemplo: “4 mas 2 es 6. Y seis es un numero par”.
En ese momento entendí la que hoy creo es una definición mas interesante de un número par. Un número es par si existe la manera de expresarlo como la suma de un número con si mismo. En este caso, 6 es par porque existe un número natural que sumado por si mismo da 6 (3+3=6)
Esto es otro ejemplo de esos subconjuntos de números que conviven dentro del conjunto de números naturales. Algunos de esos subconjuntos  son:

Números pares. Es el conjunto formado por aquellos números naturales que pueden ser expresados como una suma de un número natural consigo mismo.

Números impares. Es el conjunto formado por aquellos números naturales que no pueden ser expresados como una suma de un número natural consigo mismo.

Números primos. Es el conjunto formado por aquellos números naturales que solo son divisibles por el número 1 y si mismos.

Números perfectos. Es el conjunto formado por aquellos números naturales que son iguales a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. (6=1+2+3)

A mis hijos (todavia) no les hable de esto último, los felicité y agradecí por haberme hecho entender que son los números pares. Solo me llevo 33 años entender aquello que memorizé en segundo grado (cuando tenia 7)

–Federico Balaguer
¡Muchas gracias Federico! Y extendé el agradecimiento a tus hijos.

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Esta es la respuesta que le envié:

• ¿Se manejan con soltura con los cálculos con dinero?
• ¿Pueden calcular cuántos cuadraditos tiene una hoja cuadriculada? ¿Cómo lo calculan?
• Si hacen un cálculo con calculadora, ¿están seguros del resultado que les devuelve la máquina o preguntan al adulto si está bien?
• ¿Saben de memoria las tablas de multiplicar?
• ¿Tienen recursos para saber si 31/52 es menor, igual o mayor que 30/40?
• Cuando resuelven cálculos, ¿lo hacen aplicando mecanismos aprendidos de memoria?, ¿llegan al resultado deduciendo por caminos propios?, ¿se pierden sin llegar al resultado?, ¿pueden defender el procedimiento que hicieron porque están seguros de su validez?
• ¿Saben con seguridad mostrar extendiendo los brazos cuánto de largo es un metro?
• ¿Sufren con la tarea de matemática que les dan en la escuela?
• ¿Tienen dificultades para aprobar los exámenes?
• ¿Saben hacer cuentas de dividir con decimales? ¿Y calcular porcentajes? ¿Y cómo se llevan con la regla de tres simple?
• ¿Saben usar el compás y el transportador para medir ángulos?

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Es notable que todos los adultos recordemos esa frase escolar “pedir al compañero” cuando casi no recordamos cómo resolver un cálculo y, mucho menos los fundamentos matemáticos. Pero empecemos por des-cifrar el significado matemático de pedir al compañero para los que no lo saben.

En esta cuenta de restar por ejemplo:

empezamos por calcular 5 – 8

y como no se puede sacar 8 de donde hay solo 5

decimos “no se puede; entonces le pedimos 1 al compañero”.

El compañero viene a ser el 3

Ese 1  se le pide ¿prestado? al 3. Parece que el que pide prestado es el 5 porque 3 queda en 2 (uno menos) y 5 se convierte en 15… Ah…. pero ¿no se convierte en 6?

Estas cosas se trasmiten de generación en generación casi como una leyenda. Son pasos automáticos que se deben dar para resolver una resta pero, ¿y la deducción, el pensamiento, la lógica, es decir, la matemática?

Finalmente, de las 3 decenas una se saca del lugar de las decenas (por eso se tacha el 3 y se escribe en su lugar 2) y esa decena se le agrega a 5 por eso se escribe ese 1 chiquito que se lee 15 junto con el 5. Y el cálculo sigue como todos sabemos hasta llegar al resultado final.

Otra manera de resolver la resta

Tengo 35

Tomo 18

Y los saco. Es decir, saco 18 de donde hay 35.

Cuento los que quedaron. Son 17. Entonces:

Este procedimiento de cálculo y la cuenta de restar obtienen el mismo resultado de la resta: 17. Sin embargo son bien diferentes.

La diferencia más importante, me parece, es que en la cuenta no tenemos las cantidades a la vista y calculamos exclusivamente con los dígitos 3, 5, 1 y 8 que son los que componen los “nombres” de las cantidades escritos en sistema de numeración decimal. Es decir, que si anotásemos las cantidades en números romanos, por ejemplo, la cuenta no se podría hacer calculando con X, I, V

Esto de meterse a aclarar cosas que están naturalizadas como “pedir al compañero” es complicado y puede parecer retorcido. Sin embargo, es el camino para salvar las dificultades que tienen las personas que no logran entender la matemática. Esto solo ya justifica el esfuerzo.

Retomando,

• el “pedir al compañero” de la cuenta del ejemplo, se refiere a cuestiones del sistema de numeración decimal con el que escribimos las cantidades y
• las cuentas son mecanismos que logran resolver cálculos solo con las cifras por separado y sin necesidad de considerar las cantidades que representan.

Esto último se ve claramente en el ejemplo. Calculamos con 3 aunque en realidad significa treinta. Esto puede parecer intrascendente pero no lo es en absoluto. De tanto hacer cuentas calculando solo con los dígitos por separado, las otras cantidades, es decir, los infinitos números que existen, quedan fuera del aula de matemática.

Otra manera

Pongo a la vista 35, es decir, 3 decenas y 5 unidades.

De ahí intento sacar 18, o sea 1 decena y 8 unidades: 1 rojo y 8 azules. Como no hay a la vista 8 azules, canjeo 1 rojo por diez azules (como cuando cambiamos un billete de $10 por diez monedas de $1).

Ahora saco 18, o sea 1 decena y 8 unidades: 1 rojo y 8 azules.

El lector decidirá cuál de estos procedimientos es más matemático a la vez que más claro.

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¿Cuál de estas figuras tiene menor superficie? Demostralo con un teorema.

Recomiendo leer en este mismo blog, a propósito de los teoremas, Actividades de matemática.

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