¿Qué te parece cómo explica tu maestro (o maestra) de matemática?

• Da su clase y a veces explica una vez más para los que no entienden. (46%, 39 Votos)
• Explica hasta que todos entienden. (34%, 29 Votos)
• Da su clase y no se detiene en los que no entienden. (20%, 17 Votos)

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“La matemática no está  en las cosas sino en lo que el sujeto hace con ellas”

Pierre Gréco. Pedagogía Matemática.

La clase de matemática solo puede ser tal si en ella los estudiantes hacen matemática. Se me dirá que ellos deben aprender la matemática que ya está hecha. Es cierto; pero no menos cierto es que si no la rehacen no la aprenderán.

Este blog está repleto de actividades que proponen situaciones para hacer matemática: medirse el cuerpo, contar baldosas en la vereda, dibujar, recortar, amasar en la cocina, pintar, calcular y muchas más. Sin embargo, cualquier propuesta de clase puede fracasar en la construcción de aprendizajes matemáticos si no hay un adulto mediador que tenga claro la frase del comienzo de este artículo.

Para que en el aula de matemática haya aprendizajes significativos debe haber un docente que sepa matemática, que sepa diferenciar cuándo se hace con las cosas una tarea matemática y cuándo no.

¿Es matemática memorizar resultados?

¿Es matemática teclear una calculadora?

¿Es matemática aplicar una fórmula?

¿Es matemática repetir procedimientos sin conocer sus fundamentos?

La lista puede seguir y cada lector tendrá las suyas.

Para saber si vamos por buen camino solo alcanza con escuchar atentamente a los estudiantes y ver si aprendieron matemática o no.

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Este blog MatematicaClara.com empezó con la idea de publicar experiencias que he vivido en el afán de enseñar matemática. Con el tiempo se ha convertido en una fuente de inspiración al recibir  los comentarios que, por ser este un medio informal, también son fruto de la más estricta experiencia no teórica.

Lo que más me sorprende de este blog es que a pesar de contener materiales que considero muy valiosos, los artículos sobre la cuenta de dividir son, por mucho, los más visitados y más comentados. Por ejemplo, la mayoría de los artículos tienen 2, 3, 4 comentarios. H ay varios que no tienen niguno. Sin embargo, “Cómo enseñar a adividir por 2 cifras”, del 17 de junio de 2009, tiene 313.  Por lejos, la cuenta de dividir y las dificultades que entraña para docentes, estudiantes y padres, es el tema más consultado.

Lo básico en los artículos sobre la dichosa cuenta está centrado en mostrar que solo comprendiendo se está aprendiendo la matemática de las cuentas de dividir.

Agregaré acá tres cosas más que son fundamentales a la hora de aprender y enseñar el mecanismo de la cuenta sin apelar a la memoria sin sentido.

• Para que los estudiantes disfruten la matemática y en especial el cálculo, tiene que haber un adulto mediador que disfrute, a su vez, de  jugar con los números.

Como todo, un niño disfruta leer si tiene como modelo adultos que leen con pasión, que aman su biblioteca por pequeña que sea, que recomiendan lecturas interesantes. Con los números pasa lo mismo.

• Las cuentas son mecanismos que resuelven operaciones en función del sistema de numeración decimal. Solo si se comprende el sistema de numeración, las cuentas pasan a ser algo fácil de comprender.

Esto es parecido a lo que pasa con la lectura: si no se conoce bien las letras, mal se va a poder leer un texto. Ahora bien, las letras del alfabeto son simplemente una colección, mientras que el sistema de numeración decimal es una colección de dígitos pero vinculados por complejas operaciones aritméticas.

Las cuestiones matemáticas que involucra el sistema de numeración decimal no son en absoluto obvias para los niños ni aún para los adultos y, me animaría a decir, ni para los docentes.

Lo que puedo asegurar (por haberlo experimentado) es que cuando los niños comprenden el sistema de numeración decimal, no tardan nada en aprender las cuentas; no pierden la alegría ni si quiera con la cuenta de dividir con decimales.

• Por último, algo que es fundamental. Para que los niños hagan cálculos y cuentas con naturalidad tienen que conocer las cantidades. Esto puede parecer trivial porque los adultos tenemos tan naturalizados los números que nos cuesta mucho ponernos en el lugar de los niños.

Para que los niños conozcan los números y las cantidades que representan tienen que contar. Tan simple como eso: hay que habilitar espacio para contar en la clase de matemática.  Stanislas Dehaene* lo dice con claridad:

Comprender para qué sirve contar es el punto de partida de una explosión de invenciones numéricas. Saber contar es el “cuchillo de campaña” de la aritmética, el instrumento que los niños prestan a muchos usos. Una vez que saben contar, la mayoría de los niños encuentra la manera de sumar y restar números sin necesidad de una enseñanza sistemática.

Hay que permitir que los niños cuenten y cuenten: las baldosas del patio, los libros de la biblioteca de su casa, los cubiertos que hay en la cocina, etcétera.

*Stanislas Dehaene. The number sense. How the mind creates mathematics. Published by Penguin Group.1997. London. England

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Tres cuartos de pizza          

2 pizzas      3 pizzas

Pizzas enteras y un cachito más

Las cantidades que siguen están anotadas con fracciones mixtas:

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Esta es la respuesta que le envié:

• ¿Se manejan con soltura con los cálculos con dinero?
• ¿Pueden calcular cuántos cuadraditos tiene una hoja cuadriculada? ¿Cómo lo calculan?
• Si hacen un cálculo con calculadora, ¿están seguros del resultado que les devuelve la máquina o preguntan al adulto si está bien?
• ¿Saben de memoria las tablas de multiplicar?
• ¿Tienen recursos para saber si 31/52 es menor, igual o mayor que 30/40?
• Cuando resuelven cálculos, ¿lo hacen aplicando mecanismos aprendidos de memoria?, ¿llegan al resultado deduciendo por caminos propios?, ¿se pierden sin llegar al resultado?, ¿pueden defender el procedimiento que hicieron porque están seguros de su validez?
• ¿Saben con seguridad mostrar extendiendo los brazos cuánto de largo es un metro?
• ¿Sufren con la tarea de matemática que les dan en la escuela?
• ¿Tienen dificultades para aprobar los exámenes?
• ¿Saben hacer cuentas de dividir con decimales? ¿Y calcular porcentajes? ¿Y cómo se llevan con la regla de tres simple?
• ¿Saben usar el compás y el transportador para medir ángulos?

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Es notable que todos los adultos recordemos esa frase escolar “pedir al compañero” cuando casi no recordamos cómo resolver un cálculo y, mucho menos los fundamentos matemáticos. Pero empecemos por des-cifrar el significado matemático de pedir al compañero para los que no lo saben.

En esta cuenta de restar por ejemplo:

empezamos por calcular 5 – 8

y como no se puede sacar 8 de donde hay solo 5

decimos “no se puede; entonces le pedimos 1 al compañero”.

El compañero viene a ser el 3

Ese 1  se le pide ¿prestado? al 3. Parece que el que pide prestado es el 5 porque 3 queda en 2 (uno menos) y 5 se convierte en 15… Ah…. pero ¿no se convierte en 6?

Estas cosas se trasmiten de generación en generación casi como una leyenda. Son pasos automáticos que se deben dar para resolver una resta pero, ¿y la deducción, el pensamiento, la lógica, es decir, la matemática?

Finalmente, de las 3 decenas una se saca del lugar de las decenas (por eso se tacha el 3 y se escribe en su lugar 2) y esa decena se le agrega a 5 por eso se escribe ese 1 chiquito que se lee 15 junto con el 5. Y el cálculo sigue como todos sabemos hasta llegar al resultado final.

Otra manera de resolver la resta

Tengo 35

Tomo 18

Y los saco. Es decir, saco 18 de donde hay 35.

Cuento los que quedaron. Son 17. Entonces:

Este procedimiento de cálculo y la cuenta de restar obtienen el mismo resultado de la resta: 17. Sin embargo son bien diferentes.

La diferencia más importante, me parece, es que en la cuenta no tenemos las cantidades a la vista y calculamos exclusivamente con los dígitos 3, 5, 1 y 8 que son los que componen los “nombres” de las cantidades escritos en sistema de numeración decimal. Es decir, que si anotásemos las cantidades en números romanos, por ejemplo, la cuenta no se podría hacer calculando con X, I, V

Esto de meterse a aclarar cosas que están naturalizadas como “pedir al compañero” es complicado y puede parecer retorcido. Sin embargo, es el camino para salvar las dificultades que tienen las personas que no logran entender la matemática. Esto solo ya justifica el esfuerzo.

Retomando,

• el “pedir al compañero” de la cuenta del ejemplo, se refiere a cuestiones del sistema de numeración decimal con el que escribimos las cantidades y
• las cuentas son mecanismos que logran resolver cálculos solo con las cifras por separado y sin necesidad de considerar las cantidades que representan.

Esto último se ve claramente en el ejemplo. Calculamos con 3 aunque en realidad significa treinta. Esto puede parecer intrascendente pero no lo es en absoluto. De tanto hacer cuentas calculando solo con los dígitos por separado, las otras cantidades, es decir, los infinitos números que existen, quedan fuera del aula de matemática.

Otra manera

Pongo a la vista 35, es decir, 3 decenas y 5 unidades.

De ahí intento sacar 18, o sea 1 decena y 8 unidades: 1 rojo y 8 azules. Como no hay a la vista 8 azules, canjeo 1 rojo por diez azules (como cuando cambiamos un billete de $10 por diez monedas de $1).

Ahora saco 18, o sea 1 decena y 8 unidades: 1 rojo y 8 azules.

El lector decidirá cuál de estos procedimientos es más matemático a la vez que más claro.

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¿Cuál de estas figuras tiene menor superficie? Demostralo con un teorema.

Recomiendo leer en este mismo blog, a propósito de los teoremas, Actividades de matemática.

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El concepto matemático de medir es bastante complejo. Si bien en 1° no se desarrollan estos conceptos, el docente tiene que tener claro para qué está preparando a sus alumnos. Por eso empezaremos con una repasadita.

Gran variedad

En el mundo físico hay una gran variedad de cosas a medir. Y cada objeto tiene, a su vez, varios aspectos a medir.

El largo, el ancho y el alto son longitudes.

Esta chica está midiendo el peso de la mesa con una balanza.

La mesa tiene una superficie mayor que la del mantel.

Magnitudes

El peso, la longitud, la superficie, son magnitudes y también lo son el tiempo, la capacidad, el volumen.

Diez centímetros, el largo de un auto, el ancho de la bañera, la altura de un chico, son cantidades de la magnitud longitud. De la misma forma que el lugar que ocupa una montaña, un metro cúbico y el espacio que ocupa nuestro cuerpo, son cantidades de volumen.

Cómo se mide una cantidad

Para medir una cantidad de una magnitud hay que elegir una unidad de medida. Esa unidad de medida tiene que cumplir el requisito de pertenecer a la misma magnitud que lo que se quiere medir.

Para medir la longitud de una soga, la unidad de medida debe ser una cantidad de longitud. En el ejemplo de la figura se tomó como unidad de longitud el largo del bastón.

La soga mide 4, con el bastón como unidad. Al medir se hace una operación matemática: la división.

Para medir una cantidad de capacidad, la unidad de medida es otra capacidad y para medir se calcula una división.

De la misma forma, para medir una superficie la unidad de medida es otra superficie y se calcula una división.

Para medir un peso la unidad de medida es otro peso. Calcular la medida es dividir.

La cuestión de medir, como involucra la división tiene toda la complejidad  del concepto de división, de la cuenta de dividir, de las fracciones y los decimales.

Expertos en medidas

¿Quién no ha ideo a la fiambrería, le ha pedido al fiambrero medio kilo de queso y lo ha visto cortar, sin titubear, un trozo que exactamente pesaba 500 gramos al ponerlo en la balanza?

Este conocimiento que han logrado algunas personas sobre las medidas, fruto de la práctica, del ensayo y el error, es la que tiene que inspirar la enseñanza de la medida en la escuela. Una vez conseguida, ya se podrá teorizar con cosas abstractas como los algoritmos y cosas por el estilo. Es por eso que la tarea escolar referida a la medida deberá basarse en mucha práctica de comparación de cantidades y, para eso, acá van algunas ideas.

Paso a paso

A esta altura vale una aclaración importante. Todo el trabajo con las unidades convencionales de medida, el Simela, los números decimales, etcétera, es muy posterior a esa práctica a la que hago referencia más arriba. Para probar eso basta recordar los desvelos que persiguen a maestros y alumnos de segundo ciclo cuando se pretende ventilar en clase problemas de medidas y se recurre a la famosa tablita para reducir y a otos algoritmos para calcular. Así como los chicos de 1° no pueden comprender el sistema de numeración si no tienen mucha experiencia de contar, de la misma forma, saber calcular con medidas requiere el paso previo de tener experiencia concreta de magnitudes y cantidades.

Medir en la cocina

En la cocina siempre hay material para el cálculo y la matemática. El asunto de las medidas es, a no dudarlo, un tema de cocina. Vasitos medidores, balanzas y otros instrumentos de medición se encuentran a disposición en la cocina; los libros de cocina están hechos a base de medidas, pero lo que quiero destacar acá son las actividades en las que los chicos manipulan cantidades, las comparan y sacan conclusiones a aproximadas de sus medidas.

¨           Vasos, jarras, tazas, cacerolas, todos estos recipientes son apropiados para medir la capacidad. Trasvasando agua de un recipiente a otro, los chicos irán construyendo la idea de capacidad de los recipientes y que esas capacidades se pueden comparar, ordenar de mayor a menor, se pueden medir. No hay que olvidar otros recipientes en la cocina menos usados a la hora de trasvasar líquidos que, justamente por eso, ayudan a construir la idea de capacidad de los recipientes y sus medidas.

• ¿Cuántas cucharadas de café se necesitan para llenar una de sopa?
• ¿Cuántos platos playos llenos hasta el borde con agua son necesarios para llenar un plato hondo?
• ¿Cuál contiene más sopa, un plato hondo un tazón?
• La capacidad de los recipientes se puede comprobar con agua, leche o líquidos de uso doméstico y también se lentejas, polenta o fideos municiones.
• Repartir entre los chicos varios frascos de cocina transparentes. La docente muestra otro frasco igual pero con lentejas (ni muy lleno ni muy vacío) que será usado para comparar. Se pide a los chicos que pongan agua en sus recipientes, una cantidad menor que la del modelo con lentejas (o mayor, o igual).
• Una vez cumplida la consigna se pueden comparar los frascos, ordenarlos de menor a mayor, de mayor a menor o juntar los que tienen igual cantidad.
• Se puede pedir que llenen frascos hasta la mitad y luego comprueben que, efectivamente, se necesitan dos mitades para completar un frasco.
• Más difícil: conseguir en su frasco una cantidad mitad de la cantidad que tiene el frasco del docente.
• Si tuvieras una mochila mágica, ¿qué guardarías dentro de ella? Hacé un dibujo. Después fijate cuántas naranjas entran en tu mochila, cuántas mandarinas y cuántos melones.
• Con un frasco de antibiótico (vacío) y su tapa para medir llenar el frasco con agua y calcular cuántas dosis contiene el frasco.
• Hacer una fila con cucharitas para comparar el largo con el de la mesa. Tomar el largo de una mesa para compararlo con el del salón, el patio, la vereda o… vaya a saber qué.
• Hacer un acopio de fruta, llenar bolsas iguales transparentes, ver cuántas caben en cada una: bananas, manzanas, frutillas, pomelos, etcétera. Si el volumen de la fruta es más grande que el que puede contener la bolsa, por ejemplo, una sandía, los chicos podrán comprobar que “en la bolsa cabe menos que una sandía”, concepto que más adelante dará lugar a las medidas menores que la unidad.
• Con balanza de dos platillos se puede calcular cuántos panes entran en un kilo, cuántas naranjas, manzanas, etcétera.
• El rollo de cocina es un material excelente para medir longitudes y también superficies. ¿Qué es más largo, el rollo de cocina desenrollado, por supuesto, o la vereda de la escuela? ¿Cuántas servilletas del rollo de cocina se necesitan para cubrir el escritorio de la maestra?

Medir con el cuerpo

Medir con le cuerpo es de suma importancia para que los chicos construyan los conceptos matemáticos desde lo concreto. Basta pensar que la humanidad, en tiempos remotos, comenzó midiendo longitudes con partes del cuerpo: la mano (palma), el brazo, etcétera.

• Marcar en la pared registrando la altura de los chicos, comparar con las alturas en una foto, renovar las marcas a lo largo del año escolar, todo eso es trabajar con la medida de la altura del cuerpo.
• ¿Y por qué no un registro del ancho del cuerpo de los chicos?
• La fila, de mayor a menor o de menor a mayor, son ordenamientos por altura y por eso involucran el concepto de medida de longitud.
• Calcular cuántos chicos en fila se necesitan para cubrir el largo del patio, es medir una longitud pero también se puede medir ese largo con los chicos puestos tomados de la mano, acostados haciendo en el piso una fila, uno a continuación de otro. Cambiando la disposición de los chicos para medie el patio, se lleva la atención sobre el problema de cambiar la unidad de medida para medir una misma cantidad y la relación que existe entre la medida y la unidad.

• • • • • • Cuanto mayor es la unidad, la medida es menor al medir una misma cantidad. Con el cuerpo de los chicos se puede medir superficies. ¿Cuántos chicos acostados llenan una colchoneta?, ¿sentados?, ¿parados,?, ¿en cuclillas?
          • El cuerpo ocupa un volumen. ¿Cuántos chicos caben en el interior del armario?

Números a la fuerza

Con un acopio de latas de conserva (tomates, arvejas, etcétera), proponer un concurso a ver quién sostiene más.

¨           El sube y baja constituye una verdadera balanza casera que permite comparar los pesos que sostiene en sus puntas. Se puede hacer un concurso en el que cada chico y chica, subida al sube y baja, sostiene pesos colocados en la otra punta.

Medir en el patio

• Medir longitudes son un caminito de hormigas. ¿Cuántas hormigas cubren un camino de medio metro de largo?
• Cajones para apilar. ¿Cuántos cajones se necesitan apilar para alcanzar a espiar por la ventana?
• En el arenero la capacidad de los recipientes se puede medir trasvasando arena.
• Calcular a ojo medidas de tierra y agua para hacer barro.
• Medir longitudes con hilos y sogas.
• Medir tiempos con una fila de hormigas. ¿Cuántas hormigas pasan  junto a una plantita mientras una de las nenas da una vuelta al patio?
• En cualquier competencia en la que se mide el tiempo con un cronómetro es una actividad con medidas.
• Tarda más, tarda menos, tarda tanto como, son formas de medir el tiempo.

… y un cachito

Para terminar llevemos el hilo de la reflexión hacia la naturaleza de los números que se usan para medir. Si bien la Matemática tiene teorías precisas sobre la medida y los números reales dan un marco a esas conclusiones, en 1° habrá que tener en cuenta que los chicos miden con números naturales, 0, 1, 2, 3, etcétera, pero que hay que dejar la puerta abierta para futuros conocimientos involucrando el concepto de parte de un entero.

Para eso se propondrán cantidades a medir sin el prejuicio de que la medida deba ser un número entero. En el lenguaje de los chicos, habrá una manera de decir que, por ejemplo, en la mochila entran tres melone

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