Hablando de estas cosas, Marcela publica en este mismo blog su aporte así:

Hola, yo estoy empezando a trabajar división por dos cifras con mis alumnos, estoy viendo distintas formas, buscando que no solo aprendan de memoria el algoritmo, y empecé trabajando el que ellos calculen cuántas veces está contenido un número en otro, por ejemplo, cuántas veces está contenido 11, en 22, 33, 44, etcétera, y se van sumando dificultades, por ahora me da resultado. Lo bueno es que ellos vayan descubriendo la mejor manera.

Me encantó el comentario de Marcela así que le contesté.

Está muy bueno el trabajo que venís haciendo… no solo los chicos van a ir descubriendo maneras sino que seguro ya estarás vos descubriendo las maneras que ellos usan para pensar…

Por lo que me decís estás trabajando el concepto de división como operación inversa de la multiplicación… qué bien. La cuenta de dividir, en cambio, aborda otra “operación” aritmética que es la división entera.

Me voy a tomar un tiempito para publicar en el blog estas ideas algo más detalladas. Si tenés ganas entrá en la semana, ¿te parece?

Me gustaría saber algo más de tu trabajo. ¿Sos de Argentina? ¿De dónde? ¿Qué grado tenés?

Muy atentamente Marcela me contestó así:

Soy de San Justo, provincia de Buenos. Aires. Trabajo en un colegio de Ituzaingó. y desde hace tres años que trabajo con cuarto grado, justo el nivel en que se comienza a trabajar con esta operación, si bien trabajé en estos tres años la misma técnica, la cuál, dio resultado, no dejo de seguir investigando, pues creo que es la mejor manera de progresar y ayudar a los chicos a que se tomen la matemática con más entusiasmo. Hay veces que creo que el mayor problema para ellos no es la operación en sí, sino saber y manejar con total dominio las tablas de multiplicar. Hubo un tiempo en que implementé jugar al “Domingo” para practicarlas, ¿Lo conocés?. Es así, entre todos o por grupos se ponen en fila y se les dice una tabla, por ejemplo la tabla del “5″; comienza el primer chico por el 1, el segundo el 2, el tercero el 3, así sucesivamente, cuando le llega el turno al chico que tiene que decir el 5 o su múltiplo (5, 10, 15, 20, etc) dice “domingo”. Si no lo dice, sale, hasta que quedan solo dos. Cuando ya están más afianzados con las tablas en vez de empezar por el 1, se comienza por cualquier número,por ejemplo empezar por el 40 con la tabla del 6, lo que se les dificulta a aquellos que, van contando a los compañeros para saber qué tienen que decir. Esto ayudó muchísimo el aprendizaje de las tablas, ya que como siempre había premio, estudiaban en la casa para no perder.

Acá va lo prometido a Marcela que, a lo mejor, aporta a alguien más al trabajo de enseñar a dividir.

• División y división entera

La cuenta de dividir, tal como la conocemos, es un procedimiento para calcular una división entera y no una división.

Esto puede parecer un trabalenguas y, la verdad, es una pena que “división” y “división entera”, suenen casi igual y sean matemáticamente tan distintas.

¿Cuántas semanas hay en 100 días?

Corto 1 metro de cinta en 7 pedacitos iguales. ¿Cuántos centímetros mide cada uno?

En ambos problemas la solución consiste en calcular una división. Sin embargo, los resultados y aún las operaciones son diferentes. Veamos las soluciones.

• ¿Cuántas semanas hay en 100 días?

Con 100 días se pueden juntar 14 semanas y sobran 2 días.

Lo que estamos diciendo es que 14 es la cantidad máxima de grupos de 7 días que se pueden armar con 100.

Esta operación aritmética se llama división entera. En la división entera obtenemos como resultado dos números: uno llamado cociente y otro, resto.

Al calcular la división entera entre 100 y 7, obtenemos el número que multiplicado por 7 dé lo más cerca de 100 sin pasarlo.

y además, 2 es menor que 7 y mayor o igual que 0

En general, la división entera se define así:

• Corto 1 metro de cinta en 7 pedacitos iguales. ¿Cuántos centímetros mide cada uno?

1 metro son 100 centímetros que, al cortar en 7 partes iguales, dividimos 100 dividido 7. Estamos calculando un número que multiplicado por 7 dé por resultado 100.

Esta operación aritmética se llama división. Es la operación inversa de la multiplicación.

Marcela, como muchos, cree que el contenido “cuenta de dividir” aparece después de unos años de escuela primaria; ella dice textualmente: cuarto grado, justo el nivel en que se comienza a trabajar con esta operación. Sin embargo, en primer grado, cuando se llega a la decena, los chicos aprenden que al contar se hacen montones de a 10. Esta cantidad, por ejemplo:

Son 2 decenas y sobran 6.

Por eso se dice 26, que quiere decir que de esa cantidad, 10 se puede sacar 2 veces y sobra 6.

Este cálculo no es ni más ni menos que esta cuenta:

Por esto el contenido matemático “cuenta de dividir”, ese procedimiento de cálculo, aparece en el comienzo mismo de la escolaridad. Vale preguntarnos, si los chicos pueden hacer esto a los 6 años, ¿por qué los desvela a los 10 y aún a los 12 después de años de clases de matemática?

• Algo sobre las tablas

Marcela trae acá un asunto más que cotidiano sobre las tablas de multiplicar. Ella habla de “aprender las tablas”, de “dominio de las tablas” y yo me pregunto: saber los resultados de las multiplicaciones de las tablas de memoria, ¿es lo mismo que saber calcular las tablas?; saber el contenido matemático “tablas de multiplicar”, ¿consiste en saber los resultados de memoria? Cuando Marcela dice “estudiaban en casa las tablas”, ¿se refiere a estudiar el contenido matemático o los resultados de memoria?

¡Qué tema éste! Volveremos sobre él otra vez, seguramente.

Related posts:

1. Palabras para acceder a los números
2. Matemática en la escuela
3. Las tablas de multiplicar

Me interesaba indagar las preferencias de las personas que visitan MatematicaClara.com sobre las actividades que pueblan las clases de matemática.

¿Qué le gusta más de la matemática?

¿Dónde quedaron la geometría y los teoremas en la clase de matemática?

Related posts:

1. La encuesta sobre los teoremas
2. La última encuesta
3. La encuesta pasada

¿Qué opinás de los teoremas?

• Que son la parte fundamental de la matemática. (60%, 61 Votos)
• Que son una antigüedad y no vale la pena llevarlos a clase. (20%, 20 Votos)
• Que son difíciles y entonces mejor no enseñarlos. (12%, 12 Votos)
• Que son cosas para aprenderlas de memoria. (8%, 8 Votos)

Me quedo pensando con estos resultados…. Que apenas algo más de la mitad de los encuestados reconozcan a los teoremas como fundamentales para la matemática choca con la idea generalizada de que en matemática hay que razonar.

¿Será que no se asocia al razonamiento con “las razones”, que son lo que constituyen los teoremas?

¿Será que demasiados encuestados no tienen claro qué es un teorema?

Me quedo pensando.

Related posts:

1. La encuesta sobre los profe
2. La encuesta pasada
3. La última encuesta

Hoy en Argentina celebramos el Día del Niño.  Busqué en Internet respecto de este tema en relación a la Matemática y encontré cosas interesantes que me gustaría compartir.

• Niño genio representará al Perú en mundial de Matemáticas

http://www.educared.org.pe/general/nota/1376/nino-genio-representara-al-peru-en-mundial-de-matematicas/

El escolar Arturo Raúl Chávez Sarmiento, de apenas 11 años de edad, se clasificó para integrar el equipo olímpico de matemática que se reunirá del 13 al 23 de julio próximo en Alemania.

El estudiante del colegio Bertolt Brecht vive en Comas con su padres y  es uno de los clasificados mas jóvenes en esta competencia mundial, el único menor de 11 años.

Se mostró optimista de representar al Perú en estas olimpíadas mundiales, pero pidió el apoyo de las empresas privadas o alguna institución del Estado para costear su pasaje hacia Alemania.

A Arturo siempre le gustaron las matemáticas y desde los primeros años en el colegio sacó excelentes notas en ese curso, ante el asombro de sus profesores que recomendaron trasladarlo al colegio Bertolt Brecht, especialista en este tipo de educación.

• DÍA DEL NIÑO IESMAT

http://retomania.blogspot.com/2008/05/solucin-retos.html

Los chicos de este colegio de un colegio de Colombia participan de Retos matemáticos.

• Además, muchas ofertas de Juegos matemáticos en dispositivos para comprar para el Día del Niño.

Quiero hacer un aporte aunque sea modesto. Es un llamado a los adultos que administramos el saber matemático, precisamente, a los niños. Que pongamos en manos de los chicos la matemática del sentido común, la que se puede hacer con el solo auxilio de la capacidad de razonar de cada uno, una Matemática Clara que ayude a resolver problemas y que no angustie a los chicos sino que los haga disfrutar de SABER.

Related posts:

1. Matemática también se puede leer
2. Matemática en la escuela
3. Matemática a marzo

Cuando se le preguntó a Pitágoras  qué es lo que él consideraba un amigo, se dice que contestó: “Un segundo yo”. Como ejemplo dio  dos números 284 y 220. a los cuales llamó números amigables o amistosos.

Dos números son amigos cuando la suma de los divisores propios de cada uno de ellos es el otro.

Los divisores propios de un número son todos sus divisores menos él mismo.

Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71, y 142.

1 + 2 +  4 +  71 + 142 = 220

Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110.

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Los números amigos eran conocidos por los indúes antes del tiempo de Pitágoras. Algunos pasajes de la Biblia indican que los hebreos conocían tales números y que les concedían ciertas influencias favorables.

En estos tiempos, en pleno siglo XXI, estaría bueno preguntarnos sobre la amistad de los chicos con los números. Todos hemos visto a los niños pequeños mostrar con orgullos hasta cuánto saben contar y divertirse con la escoba de quince, por nombrar algo. Sin embargo, esos compañeros de juego, los números, se van convirtiendo en desagradables estorbos a poco de transitar la escuela para casi todos los chicos. Ya para cuando aparecen las tablas de multiplicar y las cuentas de dividir se convierten en penitencia. ¿Qué será lo que pasa en el aula de matemática para que esa amistad se pierda? ¿Qué podremos hacer los maestros para reparar esto ya que estamos en el Día del Amigo?

Ilustración de Fernanda Cazador

Related posts:

1. Diagnóstico casero para mirna keny
2. Palabras para acceder a los números
3. Otra vuelta con las tablas de multiplicar

• No parás hasta encontrar una explicación clara que te permita entender. (58%, 64 Votos)
• Pedís a tus maestros que te expliquen y si no entendés, te olvidás del asunto. (18%, 20 Votos)
• Creés que la matemática no es para vos y renunciás a entender. (13%, 14 Votos)
• Lo aprendés de memoria y pasás a otra cosa. (11%, 12 Votos)

Total: 110

Ya veo que la mayoría de lectores de este blog son simpatizantes de la matemática pero debo decir que estos porcentajes no se replican en el público en general. Si así no fuera el analfabetismo numérico no sería tan universal como es. Gracias a todos los que participaron.

Related posts:

1. La última encuesta
2. La encuesta sobre los teoremas
3. La última encuesta

Related posts:

1. La historia que vivieron los matemáticos

Pero vayamos al regalo de Zulema. 

¡Gracias Zule!

Related posts:

1. Suma de fracciones para Sol
2. Fracciones decimales
3. Fracciones para Augus

El número se asocia inmediatamente con las matemáticas y está omnipresente en la matemática escolar. Cuando los chicos ingresan en la EGB, se manejan con el concepto de número, pero una gran tarea de la escuela consiste en trabajar las diferentes maneras de anotarlos, de registrar por escrito las cantidades.

Escritura de números

Desde tiempos remotos, la humanidad tuvo necesidad de anotar cantidades y se valió de métodos diversos como hacer marcas en varas o nudos en sogas. Con el paso del tiempo, fue apareciendo la escritura y las maneras de escribir números fueron evolucionando.

Actualmente, las palabras uno, dos, tres, etcétera, sirven para escribir números, sin embargo, anotar números con un sistema de numeración es otra cosa.

Sistema de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos, con reglas para su uso, que permiten simbolizar por escrito los números.

Si se trata de anotar cantidades, hay una diferencia notable  entre escribir una palabra, cinco, por ejemplo, y anotar ese mismo número haciendo referencia directa a la cantidad que representa, por ejemplo: |||||

Anotar  ||||| permite visualizar la cantidad, anotar “cinco”, no. Pero esto va más allá de la cantidad registrada por escrito y llega a involucrar al cálculo. Basta con ver, por ejemplo, los cálculos que siguen.

Cinco más cuatro                                 ||||| más  ||||

Mucho ha avanzado el pensamiento humano desde la época en que se anotaban los números haciendo marcas hasta nuestros días. La historia de la matemática da cuenta de los esfuerzos de las diversas culturas en este sentido. Lo que quiero destacar en este artículo es que, para los no expertos en estos temas, puede pasar desapercibido que nuestro sistema de numeración es un objeto matemático muy refinado y, por lo tanto, no resulta trivial el trabajo didáctico que merece su desarrollo en la EGB.

Sistema de numeración decimal

Nuestro sistema de numeración, decimal, posicional, encierra complejas cuestiones que se pueden ver en tres sentidos.

1.       La escritura de los números tiene reglas precisas que tienen mucho que ver con las cantidades que representan;

2.       de la observación de cada cifra que compone un número y su posición, pueden inferirse ricas conclusiones como la divisibilidad (un número es múltiplo de 10 si termina en 0, por ejemplo) y

3.       los cálculos entre números generalmente puede hacerse con las cifras por separado. Este es el fundamento de las cuentas que agilizan el cálculo reduciéndolo casi totalmente a operar solo con los dígitos (números de 0 a 9).

4.       Y lo que no es para nada trivial, nuestro sistema de numeración no incluye las cantidades a la vista.

Hay muchas cuestiones que atañen al sistema de numeración en la EGB. Un aporte interesante a esta tarea con los sistemas de numeración sin base, muy interesantes a la hora de investigar el papel decisivo que tiene la base de numeración y el valor de posición en relación con las cuentas y el cálculo en general.

La base doce, con sus docenas y gruesas que tanto tienen que ver con cuestiones cotidianas, puede aportar luz sobre la construcción del sistema de numeración. En este sentido, no hay que olvidar que el sistema sexagesimal, con base sesenta y el sistema de numeración maya, que es en base veinte.

Related posts:

1. Aprender los números. Contar y contar
2. Números cuadrados
3. Aprender los números

Todos queremos que los chicos incorporen en la escuela la mayor cantidad posible de experiencia para desenvolverse en el mundo que les toque vivir. A veces me pregunto si no hubiera sido útil que en la escuela donde yo estudié hubiera podido disponer de una máquina de escribir para hacer mis trabajos. Supongo que hubiera adquirido una destreza que nunca tuve la posibilidad de desarrollar a pesar de depender tan a menudo de esa máquina para hacer mis trabajos profesionales. Así como éste hay muchos ejemplos de avances tecnológicos que quedaron “afuera de la escuela”. Pero creo que lo que se pierde es mucho más que el desarrollo de una destreza: es la posibilidad de una estimulación profunda. Una escuela en la que los chicos tengan a mano computadoras, cámaras fotográficas, teléfonos, aparatos de fax, fotocopiadoras, etcétera, puede convertirse en el medio propicio para una rica experiencia comparable con una escuela con huerto escolar o cooperativa de producción.

Las reflexiones que siguen valen para cualquier tecnología que ayude a trabajar en clase pero nos detendremos en el caso especial de las computadoras.

La idea es pensar a las PC como una herramienta. No se trata de que la escuela deba volverse esclava de la computadora, sino que las use para proponer actividades que estimulen el aprendizaje de los alumnos.

Es claro que las computadoras en la escuela aparecen como un signo de educación avanzada, de alto nivel científico y técnico. Las instituciones educativas privadas no dudan en incluir este detalle en la promoción de los servicios que ofrecen. Pero, ¿qué lugar ocupan en la tarea de todos los días?, ¿en qué puede ayudar una computadora al docente a la hora de trabajar con sus alumnos? El problema consiste en encontrar una relación válida entre lo que la computación ofrece y la tarea profesional del docente.

Este problema es el mismo que plantea cualquier otro recurso que modifica concretamente la tarea del aula y es responsabilidad del docente hacer que esa influencia sea positiva. Hasta la tiza y el pizarrón pueden ser usados como un fin en sí mismos o como medios de hacer ricas experiencias de aprendizaje. Tanto se puede escribir con tiza un cuadro sinóptico que alumno copie y luego olvide, o anotar los resultados de una experiencia “única” que sea fuente de un aprendizaje profundo.

Pero las computadoras, como los teléfonos, los aparatos de fax y tecnologías por el estilo tienen el engañoso aspecto de motivar fuertemente a los chicos y a los padres. Si llevamos al aula teléfonos celulares (por decir una exageración), los alumnos estar n ansiosos por usarlos sin plantearse en absoluto “para qué sirve” lo que van a hacer. El docente se encuentra entonces con un alumnado interesado, expectante, y tiene que decidir qué hacer a esa altura. Los chicos no se desilusionarán si los usan para comunicarse con la hora oficial, para jugar al teléfono roto o para armar un sistema de consulta de datos entre centros de investigación. Se puede hacer una clase expositiva o una clase activa, se puede “dictar” la clase o proponer una actividad rica en posibilidades de aprendizaje. Algo así pasa con las computadoras; la PC por sí sola no enseña, como no lo hacen los teléfonos ni la tiza.

Entonces el docente tiene que afrontar el problema del ingreso de los ordenadores a la escuela del mismo modo que cualquier otro profesional que quiere informatizar su trabajo. Si un escritor decide comprar una computadora con un procesador de textos quizás piense hacer su trabajo más cómodamente, pero la computadora en sí misma no va a conseguir que sus libros sean mejores. Un bibliotecario, que “carga” títulos y autores en una base de datos, seguramente hizo un curso o recibió instrucciones de manejo del sistema pero lo más importante es que domine la bibliografía. De la misma manera que el escritor del ejemplo debe saber escribir, un docente que usa computadoras tiene que dominar fundamentalmente el arte de enseñar. En cuanto a los detalles del manejo de la computadora, los consultará a quien sabe más, los aprenderá de un manual o tomará un curso de tal o cual lenguaje o utilitario.

Parece claro que un técnico en informática no puede reemplazar al bibliotecario ni al escritor de nuestro ejemplo por más que domine la computación y tampoco puede hacerlo con el docente. De la misma forma que un bibliotecario aporta a la tarea con computadoras todo lo que sabe de su profesión, un empleado de banco sus conocimientos de contabilidad y un médico el manejo de la medicina, el docente que usa computadoras para enseñar, aprenderá a usar las m quinas para ver qué le ofrecen a su tarea docente, pero elaborará sus clases en base a su filosofía de la educación y en función de los contenidos que quiere lograr.

El experto en Informática, el docente de Computación y el docente que usa computadoras

El técnico en Informática es un especialista en el manejo de computadoras, que debe programarlas para que resuelvan cálculos, problemas de lógica, para que impriman en papel determinadas cosas, para que almacenen datos, procedimientos, etcétera. Es comparable al rol del Ingeniero en Electrónica para el caso de los aparatos de televisión.

Un docente de Computación se encarga de enseñar lo que sabe el experto y su objetivo es conseguir que sus alumnos se conviertan en especialistas. Tiene en cuenta contenidos y objetivos para nivel primario, secundario, universitario o extraescolar (en el caso de los institutos de computación). Es el caso del profesor universitario de la Licenciatura en Sistemas, el docente que enseña a usar el procesador de textos o el que se propone que chicos de siete años programen en Logo.

Un docente que usa computadoras para enseñar no es un experto en informática ni se propone que sus alumnos lo sean pero está dispuesto a usar computadoras para brindar a sus alumnos experiencias más ricas que las habituales.

Tomemos un ejemplo. El técnico en Informática conoce todos los tipos de impresoras, el papel que utilizan, las ventajas y desventajas que ofrecen según su tamaño, tipo de corriente que usan, cinta, etcétera. El docente de Computación adiestra a sus alumnos en el uso de la impresora de acuerdo con la aplicación que le vayan a dar. Si se trata de una secretaria la guiará para que sus escritos tengan el formato correspondiente y no tengan errores, si es un cajero de banco verá que consiga obtener rápida y fácilmente sus registros en papel. El docente que usa computadoras conoce el manejo de su impresora, los detalles mínimos de instalación que le permitan usarla sin depender de otra persona y el mantenimiento mínimo, como por ejemplo, cambiarle la cinta. Recibió instrucciones para usarla pero recurre al manual en busca de respuestas. Deberá plantearse una primera etapa de trabajo en la que usará la impresora para hacer sus propios escritos. Al imprimir planificaciones, planillas, notas de investigación, etcétera, hará una experiencia en la que la impresora le ayude a relacionarse con el material que produce de una forma nueva.

En base a este aprendizaje le queda por crear actividades con la impresora que pueden ayudar a trabajar a sus alumnos. Es el momento en que el docente enfrenta el desafío de revalorizar su profesión como creador de situaciones de aprendizaje en función de ideas claras acerca de su rol, no ya como persona que expone lo que sabe, sino como mediador entre la cultura computacional y sus alumnos.

Por ejemplo, en un taller de escritura las computadoras pueden desempeñar un papel fundamental ya que, imprimir los trabajos hechos con la ayuda del procesador de palabras determina una relación muy rica con la palabra escrita. No se trata, como podría pensarse, simplemente de obtener una copia pulcra sino de que cada chico, gracias a la impresora, pueda disponer no sólo de una copia de la producción de cada uno de sus compañeros sino también de su propio trabajo en las distintas etapas de elaboración. Este manejo de la producción literaria hace una diferencia en el taller de escritura y tal diferencia es lo que le interesa al docente.

La entrada de las computadoras en la escuela abre así la posibilidad de que el docente las use para sus trabajos y que enseñe a usarlas pero fundamentalmente da lugar a la reflexión profunda sobre el sentido final de la tarea docente y de cómo lograr que los alumnos se preparen para participar de una nueva forma de cultura.

Related posts:

1. Matemática en la escuela